高斯积分 是一个典型的不可积分，但是特定定积分有解的常用积分。由于 高斯分布 的广泛使用，熟练使用高斯积分还原进行速算是很有必要的。对于 链路 稍长的算法，能够速算出一个大概表达式相比只能定性是天差地别的。

高斯积分表达式

∫−∞∞e−x2/2dx=2π\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}\mathrm{d}x = \sqrt{2\pi}

有一些也去掉 /2 ，相应的结果记作

π\sqrt{\pi}

。但是高斯分布永远带着/2, 所以这个形式最容易使用。

证明很简单

S=∫−∞+∞e−x2/2dxS=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}\mathrm{d}x

S2=∫−∞+∞e−x2/2dx⋅∫−∞+∞e−y2/2dy=∫planee−(x2+y2)/2dxdyS^2=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}dx \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2/2}\mathrm{d} y = \int_{\mathrm{plane}} e^{-(x^2+y^2)/2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y

这显然是一个圆，换元到 极坐标系 x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r\cos\theta, y=r\sin\theta , dxdy=∣J∣drdθ=rdrdθdxdy = |J|\mathrm{d}r \mathrm{d}\theta = r\mathrm{d}r \mathrm{d}\theta

完事儿了之后我们得到

S2=∫02π∫0+∞re−r2/2drdθ=∫02π∫0+∞e−r2/2dr22dθS^2 = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{+\infty}re^{-r^2 / 2}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{+\infty}e^{-r^2 / 2}\mathrm{d}\frac{r^2}{2}\mathrm{d}\theta

里面显然是 1−0=11 - 0 = 1 ，所以 S2=2πS^2 = 2\pi

于是原积分是 2π\sqrt{2\pi}

只需记忆高斯积分的表达式，就可以轻松记忆高斯分布。因为

  1. 概率需要归一化。所以高斯分布有一个系数 1/2π1/\sqrt{2\pi}
  2. N(μ,σ)N(\mu, \sigma) 相当于 μ+σN(0,1)\mu + \sigma N(0, 1) ，所以 xx 要变成 (x−μ)/σ(x-\mu)/\sigma
  3. 由于 xx 变成了 (x−μ)/σ(x-\mu)/\sigma ，概率积分的时候变成了 d(x−μσ)d(\frac{x-\mu}{\sigma}) ， 因此高斯分布的系数还需要补一个 1/σ1/\sigma